Phương trình Pell (Pell's equation) là bài toán tìm nghiệm nguyên Diophantine bậc hai với yêu cầu là giải một trong những phương trình nghiệm nguyên sau:
dạng chính tắc (còn gọi là phương trình Pell loại I):
x 2 − d y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1} , dạng phương trình Pell âm (còn gọi là phương trình Pell loại II):
x 2 − d y 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=-1} , Với d là số nguyên dương và không phải là số chính phương. Ngoài ra, còn có các dạng:
Phương trình Pell chứa tham số:
x 2 − d y 2 = n {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=n} , Phương trình Pell dạng tổng quát:
A x 2 + B y 2 = n {\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=n} . Lagrange chứng minh rằng với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương. Phương trình được đặt tên là Pell bắt nguồn từ sơ suất của Leonhard Euler. Khi Euler đọc tác phẩm của Lord Brouncker, nhà toán học châu Âu đầu tiên tìm ra lời giải tổng quát của bài toán, Euler đã nhầm Brouncker với John Pell. Người đầu tiên nghiên cứu phương trình Pell là Brahmagupta ở Ấn Độ cổ đại. Brahmagupta là người đã phát triển phương pháp chakravala nhằm giải quyết phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác trong tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta vào năm 628, trước Pell 1000 năm. Tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta đã được dịch sang tiếng Ả-rập vào năm 773, và dịch sang tiếng La-tin vào năm 1126. Ngoài ra, Braskara II vào thế kỉ 12 và Narayana vào thế kỉ 14 đã tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác. Lời giải của một số dạng đặc biệt của phương trình Pell (ví dụ khi số biến nhiều hơn 2), đã được biết đến từ rất lâu ít nhất là từ thời Pi-ta-go ở Hy Lạp cổ. Muốn biết rõ hơn, hãy xem Lenstra (2002) and Barbeau (2003).