Trong lý thuyết số, hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n, nguyên tố cùng nhau với n ( ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} là số lượng số nguyên tố cùng nhau với n trong đoạn từ 1 đến n) . Hàm Euler được ký hiệu bởi ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} hoặc φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} , do đó hàm được gọi làm hàm phi Euler. Chẳng hạn, ϕ ( 9 ) = 6 {\displaystyle \phi (9)=6} vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9. Hàm số ϕ {\displaystyle \phi } trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient". Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu nó và ký hiệu nó bằng chữ cái Hy Lạp Phi ( ϕ {\displaystyle \phi } ). Đối totient của n được định nghĩa là n − ϕ ( n ) {\displaystyle n-\phi (n)} , nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n. Hàm phi có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước của nhóm nhân các số nguyên modulo n. Quan trọng hơn ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} là cấp của nhóm các đơn vị trong vành có đơn vị Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } .