Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương

Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương phát biểu như sau:

"Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương, tức là

p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} , với x,y là các số tự nhiên lớn hơn 0, khi và chỉ khi p đồng dư với 1 theo mô-đun 4." Ví dụ:

Các số nguyên tố lẻ 5, 13, 17, 29, 37, 41 đều đồng dư với 1 theo mô-đun 4, do đó chúng biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương:

5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 29 = 2 2 + 5 2 , 37 = 1 2 + 6 2 , 41 = 4 2 + 5 2 . {\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}

Mặt khác, các số nguyên tố lẻ 7, 11, 19, 23 và 31 đều đồng dư với 3 theo mô-đun 4, do đó chúng không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương. Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng "mỗi số nguyên tố lẻ bất kì mà đồng dư với 1 theo mô-đun 4, đều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương" vào năm 1632 . Fermat là người đưa ra chứng minh đầu tiên. Fermat đã thông báo điều này trong một lá thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640, ngày giáng sinh; vì thế định lý này đôi khi còn được gọi là định lý ngày giáng sinh của Fermat.