Công thức Faulhaber là gì?

Công thức Faulhaber được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Johann Faulhaber. Công thức đó biểu diễn tổng: ∑ k = 1 n k p = 1 p + 2 p + 3 p + ⋯ + n p {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}} dưới dạng một đa thức bậc (p + 1) với biến n, và các hệ số liên quan đến số Bernoulli. Công thức tổng quát: ∑ k = 1 n k p = 1 p + 1 ∑ j = 0 p ( − 1 ) j C p + 1 j B j n p + 1 − j {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}C_{p+1}^{j}B_{j}n^{p+1-j}} Trong đó: chỉ số j có giới hạn trên là p; B j {\displaystyle B_{j}} là các số Bernoulli B 0 = 1 , {\displaystyle B_{0}=1,} B 1 = − 1 2 {\displaystyle B_{1}=-{1 \over 2}} , hoặc B 1 = 1 2 {\displaystyle B_{1}={1 \over 2}} (tùy vào trường hợp cụ thể), B 2 = 1 6 , {\displaystyle B_{2}={1 \over 6},} B 3 = 0 , {\displaystyle B_{3}=0,} B 4 = − 1 30 , ⋯ {\displaystyle B_{4}=-{1 \over 30},\cdots } C p + 1 j = ( p + 1 ) ! j ! ( p + 1 − j ) ! {\displaystyle C_{p+1}^{j}={(p+1)! \over j!(p+1-j)!}} là tổ hợp chập j của (p+1), còn được ký hiệu là ( p + 1 j ) {\displaystyle {p+1 \choose j}} . Ví dụ: p = 2, ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n} là một đa thức bậc 3 biến n và các hệ số 1 3 , 1 2 , 1 6 , 0 {\displaystyle {1 \over 3},{1 \over 2},{1 \over 6},0} ∑ k = 1 n k 2 = 1 3 . [ ( − 1 ) 0 . C 3 0 . B 0 . n 3 − 0 + ( − 1 ) 1 . C 3 1 . B 1 . n 3 − 1 + ( − 1 ) 2 . C 3 2 . B 2 . n 3 − 2 + ( − 1 ) 3 . C 3 3 . B 3 . n 3 − 3 ] = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={1 \over 3}.[(-1)^{0}.C_{3}^{0}.B_{0}.n^{3-0}+(-1)^{1}.C_{3}^{1}.B_{1}.n^{3-1}+(-1)^{2}.C_{3}^{2}.B_{2}.n^{3-2}+(-1)^{3}.C_{3}^{3}.B_{3}.n^{3-3}]={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n} . Bản thân Faulhaber không biết công thức tổng quát trên, ông chỉ tính tổng: ∑ k = 1 n k p {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}} với 17 giá trị đầu tiên của p, và rút ra một số nhận xét. Mãi sau này, công thức tổng quát mới được tìm ra khi người ta đã biết đến số Bernoulli.